Question

2．已知f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$．
（1）求ω的值；
（2）求函数在x∈[0，$\frac{π}{4}$]上的最值，并指出此时的x的值；
（3）求函数在x∈[0，$\frac{π}{4}$]上的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）首先通过函数关系式的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步利用函数的周期公式确定ω的值；
（2）进一步利用函数的单调性确定函数的最值；
（3）由（2）及正弦函数的性质即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx
=2+sin2ωx+cos2ωx
=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+2．
∴由$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{2π}{3}$，可解得：ω=$\frac{3}{2}$．
（2）由（1）可得：f（x）=$\sqrt{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）+2．
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴3x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，π]，
∴sin（3x+$\frac{π}{4}$）∈[0，1]，
∴当3x+$\frac{π}{4}$=π，即x=$\frac{π}{4}$时，f（x）=$\sqrt{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）+2取最小值2；
当3x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{12}$时，f（x）=$\sqrt{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）+2取最大值2+$\sqrt{2}$；
（3）由（2）可得函数在x∈[0，$\frac{π}{4}$]上的单调减区间为：[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了三角函数中的恒等变换的应用，属于基本知识的考查．