Question

如图所示，在四棱锥S―ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC= 90°，SA=AB=AD=BC=1，E为SD中点．

(1)若F为底面BC边上一点，且BF=BC，求证：EF//平面SAB；

(2)底面BC边上是否存在一点G，使得二面角S―DG―B的正切值为，若存在，求出G点位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)取SA中点H，连EH、BH．

由HE//AD，BF//AD，且HE=AD，BF=AD

∴HE∥BF，BF=HE，

∴四边形EFBH为平行四边形．

    ∴EF//BH，BH面SAB，EF面SAB，

∴EF//面SAB．

    (2)假设存在点G，满足题设条件，

    过A作AI⊥DG于I，由三垂线定理得

    SI⊥DG，并设二面角S―DG―B的大小为

    则，∴AI=，又AD=1

    故∠ADG=45°或∠ADG=135°

    若∠ADG=45°，则G与B点重合；

    若∠ADG=135°，则BG=AD+AB

故存在点G与B重合或BG=BC满足题设。