Question

已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）
（Ⅰ）写出圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（2，-1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出圆的半径，即可写出圆C的标准方程；
（Ⅱ）利用点斜式设出过点P（2，-1）作圆C的切线方程，通过圆心到切线的距离等于半径，求出切线的斜率，然后求出方程，通过切线的长、半径以及圆心与P点的距离满足勾股定理，求出切线长．

解答：解（Ⅰ）∵圆心C（1，2），且经过点（0，1）
圆C的半径r=

(1-0)2+(2-1)2

=

2

，----------------------------------（2分）
∴圆C的标准方程：（x-1）²+（y-2）²=2，--------------------------------（4分）
（Ⅱ）设过点P（2，-1）的切线方程为y+1=k（x-2），-----------------------（6分）
即kx-y-2k-1=0，有：

|-k-3|

1+k2

=

2

，-----------------------------------（8分）
∴k²-6k-7=0，解得k=7或k=-1，--------------------------------------（10分）
∴所求切线的方程为7x-y-15=0或x+y-1=0，----------------------------（12分）
由圆的性质可知：PA=PB=

PC2-AC2

=

(2-1)2+(-1-2)2-2

=2

2

----------（14分）

点评：本题考查圆的标准方程的求法，切线方程的应用，勾股定理是求解切线长的有效方法，也可以求出一个切点坐标利用两点间距离公式求解，考查计算能力．