Question

函数f（x）=

x+1 x+2

+

x+3 x+2

的值域为（　　）

• A．[1，2]
• B．[

  2

  ，2]
• C．[

  2

  ，2）
• D．（

  2

  ，2）

Answer 1

分析：首先求得函数的定义域为（-∞，-3]∪[-1，+∞），再化函数为f（x）=

1- 1 x+2

+

1+ 1 x+2

，可以令

1- 1 x+2 =

a且

1+ 1 x+2

=b，发现a²+b²=2为定值，再结合基本不等式，可得a+b的取值范围，即为所求函数的值域．

解答：解：化函数为f（x）=

1- 1 x+2

+

1+ 1 x+2

，定义域为（-∞，-3]∪[-1，+∞），
再设

1- 1 x+2 =

a且

1+ 1 x+2

=b
可得：a²+b²=2
由基本不等式得（a+b）²≤2（a²+b²）=4
再结合题意得a+b=

x+1 x+2

+

x+3 x+2

≥

2

所以a+b∈[

2

，2），即函数的值域为[

2

，2）
故选C

点评：本题着重考查函数值域的求法，属于基础题．求函数的值域一般用换元法或用单调性法，本题何用的是换元法，比较单调性用求的方法略为复杂一点，同学们可以通过此题对比一下．