Question

设{x_n}是各项都为正数的等比数列，{y_n}是等差数列，且x₁=y₁=1，x₃+y₅=13，x₅+y₃=21．
（1）求{x_n}，{y_n}的通项公式．
（2）若i，j均为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能乘积x_i•y_j的和S．

Answer 1

分析：（1）直接根据x₃+y₅=13，x₅+y₃=21列出关于公差和公比的等式，解方程求出公差和公比，即可求出通项公式．
（2）先根据条件得到S=x₁•y₁+（x₁+x₂）•y₂+…+（x₁+x₂+…+x_n）•y_n；再求出（x₁+x₂+…+x_n）•y_n的通项；最后利用错位相减以及裂项求和法求出结果．

解答：解：（1）设{x_n}的公比为q（q＞0），{y_n}的公差为d，
则

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

得d=2，q=2，
所以：x_n=2^n-1，y_n=2n-1．
（2）由题意S=x₁•y₁+（x₁+x₂）•y₂+…+（x₁+x₂+…+x_n）•y_n…
研究通项：

(x1+x2+…+xn)•yn=(1+2+…2n-1)(2n-1)= 1-2n 1-2 •(2n-1) =(2n-1)•2n-(2n-1)，

…
∴S=[1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ]-

n(1+2n-1)

2

令T_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2^n；
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
由错位相减法得：T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
∴S=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6-n²．

点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合知识．其中涉及到数列求和的错位相减法以及分组求和法，这是数列求和的常用方法．