Question

已知二次函数y=f（x）在x=

t+2

2

处取得最小值-

t2

4

（t＞0），f（1）=0
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若任意实数x都满足f（x）•g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹（g（x）为多项式，n∈N⁺），试用t表示a_n和b_n；
（3）设圆C_n的方程（x-a_n）²+（y-b_n）²=r_n²，圆C_n与C_n+1外切（n=1，2，3，…），{r_n}是各项都是正数的等比数列，记S_n为前n个圆的面积之和，求r_n，S_n．

Answer 1

分析：（1）根据条件可设二次函数的顶点式f（x）=a(x-

t+2

2

)2--

t2

4

，由f（1）=0，可得a，从而有f（x）=x²-（t+2）x+（t+1）．
（2）由f（x）=x²-（t+2）x+（t+1）=（x-1）（x-t-1），所以“f（x）•g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹”转化为：（x-1）（x-t-1）g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹．要消去g（x）将x=1，x=t+1别代入上式，得

an+bn=1 (t+1)an+bn=(t+1)n+1

，解方程组即可．
（3）由a_n+b_n=1，可知圆C_n的圆心O_n在直线x+y=1上，可求得圆心距|O_nO_n+1|=

2

|a_n+1-a_n|=

2

（t+1）ⁿ⁺¹再由圆C_n与C_n+1外切，可得r_n+r_n+1=

2

（t+1）ⁿ⁺¹设{r_n}的公比为q，有

rn+qrn= 2 (t+1)n+1 (1) rn+1+qrn+1=  2 (t+1)n+2(2)

得q=

rn+1

rn

=t+1从而求得通项及前n项和

解答：解：（1）设f（x）=a(x-

t+2

2

)2--

t2

4

，
∵f（1）=0，
∴a(1-

t+2

2

)2--

t2

4

=0，从而a=1，
∴f（x）=x²-（t+2）x+（t+1）．
（2）f（x）=x²-（t+2）x+（t+1）=（x-1）（x-t-1）
∴（x-1）（x-t-1）g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹．
将x=1，x=t+（1分）别代入上式，得

an+bn=1 (t+1)an+bn=(t+1)n+1

∵t≠0，
∴a_n=

1

t

[（t+1）ⁿ⁺¹-1]
b_n=

t+1

t

[1-（t+1）ⁿ]
（3）∵a_n+b_n=1，
∴圆C_n的圆心O_n在直线x+y=1上
∴|O_nO_n+1|=

2

|a_n+1-a_n|=

2

（t+1）ⁿ⁺¹
又圆C_n与C_n+1外切，故r_n+r_n+1=

2

（t+1）ⁿ⁺¹
设{r_n}的公比为q，则

rn+qrn= 2 (t+1)n+1 (1) rn+1+qrn+1=  2 (t+1)n+2(2)

（2）÷（1），得q=

rn+1

rn

=t+1
于是r_n=

2 (t+1)n+1

t+2

∴S_n=π（r₁²+r₂²+…+r_n²）=

πr12(q2n-1)

q2-1

=

2π(t+1)4

t(t+2)3

[（t+1）²ⁿ-1]

点评：本题主要考查数列与函数，方程的综合运用，主要涉及了函数的解析式，圆与圆的位置关系，数列的递推与通项和前n项和公式．