Question

已知函数f（x）=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+2cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行展开，合并同类项，再用辅助角公式化简得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），再用三角函数的图象与性质，可求函数f（x）的值域．
（II）由正弦函数的单调区间的公式，建立关于x的不等式并解之，得-

3π

8

+kπ＜x＜

π

8

+kπ，k∈Z，再将其变成区间就是要求的函数单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+2cos²x-1
=（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）+（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）+cos2x
=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）…（3分）
由于x∈R，得2x+

π

4

∈R，故sin（2x+

π

4

）∈[-1，1]，
∴函数的值域为y∈[-

2

，

2

]…（6分）
（Ⅱ）令-

π

2

+2kπ＜2x+

π

4

＜

π

2

+2kπ，k∈Z，…（8分）
解得-

3π

8

+kπ＜x＜

π

8

+kπ，k∈Z，…（10分）
∴f（x）的递增区间为（-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ），k∈Z，…（12分）
注意：写成[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z，也是正确答案．

点评：本题给出三角函数式，要我们通过化简求其单调区间与值域，着重考查了三角恒等变形和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．