Question

（2012•泰安二模）已知函数f（x）=sinx+cosx
（I）若f(x)=

2 3

3

，求sin2x的值；
（II）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值与单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）由题意可得sinx+cosx=

2 3

3

，则平方可得sin2x的值．
（II）利用二倍角公式求得 函数F（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，由此求得最大值，令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可得到函数F（x）的单调递增区间．

解答：解：（I）若f(x)=

2 3

3

，即 sinx+cosx=

2 3

3

，则平方可得  1+sin2x=

12

9

，sin2x=

1

3

．
（II）∵函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+1+sin2x=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
故函数F（x）的最大值为

2

+1．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
故函数F（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，求三角函数的最值，属于中档题．