Question

已知：f（x）=2cos²x+sin2x+a．（a∈R，a为常数）
（1）若x∈R，求f（x）单调递增区间；
（2）若f（x）在[-，]上最大值与最小值之和为3，求a的值；
（3）在（2）条件下的f（x）与g（x）关于x=对称，写出g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式为2sin（2x+）+a+1，由 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得f（x）的单调递增区间．
（2）根据x的范围求出2x+的范围，进而得到sin（2x+）的范围，从而得到f（x）的最大值和最小值，由最大值与最小值之和为3，求得a的值．
（3）由（2）可得f（x）=2sin（2x+）+1，f（x）与g（x）关于x=对称，可得 g（x）=f（-x），利用诱导公式求得g（x）的解析式．
解答：解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1．（2分）
由 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
故 f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．（4分）
（2）x∈[-，]，∴2x+∈[-，]，∴sin（2x+）∈[-，1]）．（7分）
∴f（x）的最大值为3+a，最小值为a，∴3+a+a=3，∴a=0．（9分）
（3）由（2）可得f（x）=2sin（2x+）+1，f（x）与g（x）关于x=对称，
故g（x）=f（-x）=sin[2（-x）+]=sin（π+-2x）=-sin（-2x）=sin（2x-），
即 g（x）=sin（2x-）． （12分）
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．