Question

已知函数f（x）=log_a（x²-ax+3）（a＞0且a≠1）在区间(-∞，

a

2

]上单调递减，那么a取值范围是（　　）

• A．（1，+∞）
• B．（1，2

  3

  ）
• C．（0，2

  3

  ）
• D．（1，3）

Answer 1

分析：内层函数t=x²-ax+3在区间(-∞，

a

2

]上单调递减，故外层函数必为增函数，从而推出a＞1，再由对数的真数大于零的特点，转化为二次函数大于零恒成立，求得二次函数的最小值，令其大于零即可得a的范围

解答：解：∵t=x²-ax+3在区间(-∞，

a

2

]上单调递减，而f（x）=log_a（x²-ax+3）（a＞0且a≠1）在区间(-∞，

a

2

]上单调递减，由复合函数单调性的判断规则知，a＞1
且x²-ax+3＞0在区间(-∞，

a

2

]上恒成立
∵x²-ax+3≥

a2

4

-a×

a

2

+3=3-

a2

4

∴只需3-

a2

4

＞0
∴a²＜12，又a＞1
∴1＜a＜2

3

故选B

点评：本题考查了复合函数的单调性的判断，对数函数的定义域的应用，二次函数的单调性及其最值的求法，不等时恒成立问题的解法