Question

如图，长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=2，BB₁=26，点E是AB的中点，过点C₁、D、E的平面交BB₁于F.

(1)求证：EF∥DC₁；

(2)求二面角C₁DEC的大小；

(3)求点C到平面C₁DEF的距离.

Answer 1

(1)证明:由长方体的性质得，面A₁ABB₁∥面D₁DCC₁,

而EF与DC₁分别是截面与这一组平行平面的交线，

∴EF∥DC₁.

(2)解:连结CE、C₁E，在矩形ABCD内，易得CE⊥DE，

由三垂线定理可得∠C₁EC即为二面角的平面角.

在Rt△C₁EC中，tan∠C₁EC==，

∴∠C₁EC=60°.

(3)解:由于平面C₁EC⊥平面C₁DEF,

∴点C到面C₁DEF的距离可转化为点C到直线C₁E的距离.

在Rt△C₁EC中，求出斜边上的高为，即为所求.