题目内容

已知函数 $数学公式$ ，f'（x）是f（x）的导函数，若存在x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，且f'（x₁）=f'（x₂）=0，|x₁|+|x₂|=2．
（1）证明0＜a≤3；
（2）求实数b的取值范围．

解：（1）求导， $\text{[math]}$ …（1分）
由f'（x₁）=f'（x₂）=0，x₁、x₂是方程f'（x）=0的两实根
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
从已知 $\text{[math]}$ ，
∴|x₁x₂|≤1，即 $\text{[math]}$
∴|a|≤3，又a＞0
∴0＜a≤3…（6分）
（2）∵x₁＜x₂且 $\text{[math]}$
∴x₁＜0＜x₂|x₁|+|x₂|=-x₁+x₂=2
∴（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4
代入韦达定理关系，得 $\text{[math]}$
∴b=-3a³+9a²（0＜a≤3）…（9分）
求导，b'=-9a²+18a=-9a（a-2）
当a∈（0，2），b'＞0，b递增；
当a∈（2，3），b'＜0，b递减a=2时，
∴b_max=12，又当b=3时，b=0…（11分）
∴0≤b≤12为所求．…（12分）
分析：（1）求导， $\text{[math]}$ ．由f'（x₁）=f'（x₂）=0，x₁、x₂是方程f'（x）=0的两实根，由此能够证明0＜a≤3．
（2）由x₁＜x₂且 $\text{[math]}$ ，知x₁＜0＜x₂|x₁|+|x₂|=-x₁+x₂=2．所以（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4．由此能求出实数a的范围．
点评：本题考查根与系数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．