Question

若实数x，y满足方程组

(x-1)2011+(x-1)2009+2010x=4020 (y-1)2011+(y-1)2009+2010y=0

，则x+y=

2

．

Answer 1

分析：由条件令t=x-1，s=y-1可得t²⁰¹¹+t²⁰⁰⁹+2010t=2010，s²⁰¹¹+s²⁰⁰⁹+2010s=-2010．由函数f（x）=x²⁰¹¹+x²⁰⁰⁹+2010x 单调递增且是奇函数，可得t，s都是唯一的，t=-s，由此求得x+y的值．

解答：解：把 （x-1）²⁰¹¹+（x-1）²⁰⁰⁹+2010x=4020 两边同时减去2010可得
（x-1）²⁰¹¹+（x-1）²⁰⁰⁹+2010（x-1）=2010，
令t=x-1，可得t²⁰¹¹+t²⁰⁰⁹+2010t=2010．
把 （y-1）²⁰¹¹+（y-1）²⁰⁰⁹+2010y=0两边同时减去2010可得
（y-1）²⁰¹¹+（y-1）²⁰⁰⁹+2010（y-1）=-2010
设s=y-1，有 s²⁰¹¹+s²⁰⁰⁹+2010s=-2010．
由于函数f（x）=x²⁰¹¹+x²⁰⁰⁹+2010x 单调递增，
所以  f（x）=c 只有一个根（ c 是任意实数），所以t，s都是唯一的
由f（x） 是奇函数，即f（-x）=-f（x），可得 t=-s，
即  x-1=-（y-1），∴x+y=2．
故答案为2．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．构造出统一的形式来是解题的关键