Question

已知函数，其中是自然对数的底数.

（1）求函数的零点；

（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，

求的取值范围；

（3）已知且函数在上是单调函数，探究函数的单调性.

Answer 1

解：（1），

      

① 当时，函数有1个零点：      ② 当时，函数有2个零点：  ③ 当时，函数有两个零点：   

④ 当时，函数有三个零点：

     

（2） 

设，的图像是开口向下的抛物线.

由题意对任意有两个不等实数根，

且

 则对任意,即,

又任意关于递增,,

故

所以的取值范围是         

（3）由(2)知, 存在，又函数在上是单调函数，故函数在上是单调减函数, 

从而即  

     所以

由知         

    即对任意

 故函数在上是减函数.