Question

13．如图，在△ABC中，∠C=45°，D是BC边上的一点，且AB=7，AD=5，BD=3，则∠ADC的度数为30°，AC的长为$\frac{5\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理求解cos∠ADB，可得∠ADC的度数．求出cosB，可得sinB，在△ABC中利用可得AC．

解答 解：∵AB=7，AD=5，BD=3，
∴在△ABD中，余弦定理cos∠ADB=$\frac{B{D}^{2}+A{D}^{2}-A{B}^{2}}{2BD•AD}$=$-\frac{1}{2}$．
∴∠ADB=150°．
那么∠ADC=30°．
在△ABD中，余弦定理cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}$=$\frac{11}{14}$，
∴sinB=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．
正弦定理：$\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$，
可得：AC=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：30°，$\frac{5\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查AC长的求法，考查sinB的值的求法，是中档题，解题时要注意正余弦定理的合理运用．