Question

数列{a_n}满足：对任意的正整数m，n；s，t，若m+n=s+t，则，且．
（1）求证：；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记c_n=a_2n-a_2n+1（n∈N*），求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于，所以条件可化为．故可得证．
（2）将（1）式结论与条件相除得，令，则：b_mb_n=b_sb_t由于1+n=2+（n-1），从而有b₁b_n=b₂b_n-1，可证数列为等比数列，从而求出数列的通项公式；
（3）先证明，利用等比数列的求和公式求和，再进行放缩即可．
解答：证明：（1）由①，
得，
即②…（4分）
（2）由②÷①得：，
令，则：b_mb_n=b_sb_t由于1+n=2+（n-1），所以：b₁b_n=b₂b_n-1，所以：，即：b_n=-4b_n-1（n≥2），所以：b_n=b₁（-4）^n-1=，所以（n∈N*）…（8分）
（3）c_n=a_2n-a_2n+1==
所以…（12分）
点评：本题的关键是挖掘结论与条件之间的联系，有一定的技巧性，综合性强．