题目内容
（2013•虹口区一模）设点P在曲线y=x2+2上，点Q在曲线y=
上，则|PQ|的最小值等于
．
| x-2 |
7
| ||
| 4 |
7
| ||
| 4 |
分析：曲线y=
的图象在第一象限，要使曲线y=x2+2上的点与曲线y=
上的点取得最小值，点P应在曲线y=x2+2的第一象限内的图象上，分析可知y=x2+2（x≥0）与y=
互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以，求出y=
上点Q到直线y=x的最小值，乘以2即可得到|PQ|的最小值．
| x-2 |
| x-2 |
| x-2 |
| x-2 |
解答：解：由y=x2+2，得：x2=y-2，x=±
．
所以，y=x2+2（x≥0）与y=
互为反函数．
它们的图象关于y=x对称．
P在曲线y=x2+2上，点Q在曲线y=
上，
设P（x，x2），Q（x，
）
要使|PQ|的距离最小，则P应在y=x2+2（x≥0）上，
又P，Q的距离为P或Q中一个点到y=x的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线y=x的最短距离
d=
=
=
．
所以dmin=
=
．
则|PQ|的最小值等于2×
=
．
故答案为
．
| y-2 |
所以，y=x2+2（x≥0）与y=
| x-2 |
它们的图象关于y=x对称．
P在曲线y=x2+2上，点Q在曲线y=
| x-2 |
设P（x，x2），Q（x，
| x-2 |
要使|PQ|的距离最小，则P应在y=x2+2（x≥0）上，
又P，Q的距离为P或Q中一个点到y=x的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线y=x的最短距离
d=
|x-
| ||
|
|
| ||||
|
|(
| ||||||
|
所以dmin=
| ||
|
7
| ||
| 8 |
则|PQ|的最小值等于2×
7
| ||
| 8 |
7
| ||
| 4 |
故答案为
7
| ||
| 4 |
点评：本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把求两曲线上点的最小距离问题，转化为求一支曲线上的动点到定直线的最小距离问题，此题是中档题．
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