Question

11．已知二次函数f（x）与函数y=-2（x+1）²的开口大小相同，开口方向也相同，f（x）的图象的顶点是（1，2），定义在R上的函数g（x）是奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x）．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）作出函数g（x）的图象，并说明g（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据图象的特点，先求出f（x）的解析式，根据函数奇偶性的性质，将x＜0转化为-x＞0，即可求出函数的解析式．
（2）画图，由图象得到单调性．

解答 解：（1）由题知：f（x）=-2（x+1）²+2，
当x＞0时，g（x）=f（x）=-2x²+4x，
∵g（x）是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），
当x=0时，g（-0）=-g（0），
∴g（0）=0，
当x＜0时，则-x＞0，
∴g（-x）=-2x²-4x=-g（x），
∴g（x）=2x²+4x，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+4x，x＜0}\\{-2{x}^{2}+4x，x≥0}\end{array}\right.$；
（2）图象如图所示：

由图象可知，g（x）在[-1，1]上单调递增，在（-∞，-1），（1，+∞）是单调递减．

点评 本题主要考查函数解析式的求法以及函数的图象的识别，利用函数的奇偶性的性质是解决本题的关键．