题目内容
已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD且PA=1，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q．（I）求证：AB∥平面MNQ；
（Ⅱ）求证：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅲ）求二面角P-MN-Q的余弦值．
分析：（I）根据正方形的性质，证出AB∥MN．利用线面平行判定定理即可证出AB∥平面MNQ；
（II）正方形中证出MN⊥AD，根据PA⊥平面ABCD证出MN⊥AP．利用线面垂直判定定理，证出MN⊥平面PAD，再由MN?平面PMN，证出平面PMN⊥平面PAD；
（II）由（II）的结论证出MN⊥PM且MN⊥MQ，得∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角．分别在Rt△MQD、Rt△PAM中算出MQ、PM长，最后在Rt△PMQ中利用三角函数的定义算出cos∠PMQ=
，即可得到二面角P-MN-Q的余弦值．
（II）正方形中证出MN⊥AD，根据PA⊥平面ABCD证出MN⊥AP．利用线面垂直判定定理，证出MN⊥平面PAD，再由MN?平面PMN，证出平面PMN⊥平面PAD；
（II）由（II）的结论证出MN⊥PM且MN⊥MQ，得∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角．分别在Rt△MQD、Rt△PAM中算出MQ、PM长，最后在Rt△PMQ中利用三角函数的定义算出cos∠PMQ=
| ||
| 10 |
解答：解：（I）∵ABCD为正方形且M、N分别为AD、BC的中点，
∴AB∥MN．
又∵MN?平面MNQ，AB?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．
（II）∵ABCD为正方形且M、N分别为AD、BC的中点，
∴MN⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，MN?平面ABCD，∴MN⊥AP．
又∵AD∩AP=A，∴MN⊥平面PAD，
∵MN?平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD．
（III）由（II）得MN⊥平面PAD，PM?平面PAD，MQ?平面PAD，
∴MN⊥PM，MN⊥MQ，可得∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角．
∵PA=AD=1，∴∠PDA=45°．
Rt△MQD中，MQ=
MD=
，Rt△PAM中，PM=
=
．
∴Rt△PMQ中，cos∠PMQ=
=
=
，
可得二面角P-MN-Q的余弦值为
．
∴AB∥MN．
又∵MN?平面MNQ，AB?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．
（II）∵ABCD为正方形且M、N分别为AD、BC的中点，
∴MN⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，MN?平面ABCD，∴MN⊥AP．
又∵AD∩AP=A，∴MN⊥平面PAD，
∵MN?平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD．
（III）由（II）得MN⊥平面PAD，PM?平面PAD，MQ?平面PAD，
∴MN⊥PM，MN⊥MQ，可得∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角．
∵PA=AD=1，∴∠PDA=45°．
Rt△MQD中，MQ=
| ||
| 2 |
| ||
| 4 |
| PA2+AM2 |
| ||
| 2 |
∴Rt△PMQ中，cos∠PMQ=
| MQ |
| PM |
| ||||
|
| ||
| 10 |
可得二面角P-MN-Q的余弦值为
| ||
| 10 |
点评：本题在四棱锥P-ABCD中证明线面平行、面面垂直，并求二面角的大小．着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明，以及二面角的定义与求法等知识，属于中档题．
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