Question

（08年上虞市质检一理） 如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=，M为BC的中点，

     (Ⅰ)  证明：AM⊥PM；          

    （Ⅱ）求二面角P―AM―D的大小；

    （III）求点D到平面AMP的距离.   

 

Answer 1

解析：解法1：（I）取CD的中点E，连结PE、EM、EA

         ∵△PCD为正三角形   ∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=

         ∵平面PCD⊥平面ABCD  ∴PE⊥平面ABCD 

         ∵四边形ABCD是矩形   ∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形

         由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3        ∴EM²+AM²=AE²

         ∴∠AME=90°      ∴AM⊥PM

   (Ⅱ）由（I）可知EM⊥AM，PM⊥AM   ∴∠PME是二面角P―AM―D的平面角

         ∴tan∠PME=   ∴∠PMA=45°  ∴二面角P―AM―D为45°

  

解法2：（I）以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系D―xyz，

         依题意，可得D（0，0，0），P（0，1，），C（0，2，0），A（2，0，0），M（，2，0），

                                    

               

                                     即，∴AM⊥PM.

   (Ⅱ）设平面PAM，则

                  

        取y=1，得 显然平面ABCD

        .

        结合图形可知，二面角P―AM―D为45°；