题目内容

在（2+ $数学公式$ ）¹⁰⁰展开式中，求共有多少个有理数的项？

解：根据题意，（2+ $\text{[math]}$ ）¹⁰⁰的二项展开式为T_r+1=C₁₀₀^r•2^100-r•（ $\text{[math]}$ ）^r=C₁₀₀^r•2^100-r• $\text{[math]}$ ，r=0，1，2，3，…100
若展开式为有理数，即 $\text{[math]}$ 为有理数，
则r为4的倍数，r=0，4，8，12，…100．
100=0+（n-1）×4，
可得n=26，有26个符合条件，
共有26个有理数的项．
分析：根据题意，可得 $\text{[math]}$ 的二项展开式，若x的系数为有理数，即（ $\text{[math]}$ ）^100-r•（ $\text{[math]}$ ）^r为有理数，则100-r为2的倍数，r为3的倍数，设r=3n，则100-3n为2的整数倍，分析可得答案．
点评：本题考查二项式定理的应用，注意整数的整除的有关性质，仔细进行分析．