题目内容

已知函数f（x）=x+4 $数学公式$ +4 （x≥0），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n），（n∈N*），数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为 $数学公式$ 的等比数列．
（1）求证：数列{ $数学公式$ }为等差数列；　（2）若c_n= $数学公式$ •b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

解：（1）∵函数f（x）=x+4 $\text{[math]}$ +4= $\text{[math]}$ （x≥0），
∴a_n+1=f（a_n）= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2 （n∈N*）．
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以 $\text{[math]}$ =1为首项，公差为2的等差数列．…（4分）
（2）由（Ⅰ）得： $\text{[math]}$ =1+（n-1）2=2n-1，即 a_n=（2n-1）² （n∈N*）．…（5分）
b₁=1，当n≥2时，b_n-b_n-1= $\text{[math]}$ ，∴b_n=b₁+（ b₂-b₁）+（ b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）
=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，因而 b_n= $\text{[math]}$ ，n∈N*．…（7分）
∴c_n= $\text{[math]}$ •b_n=（2n-1）• $\text{[math]}$ ，∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n= $\text{[math]}$ [1+3+5+…+（2n-1）-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）]．
令T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ①，则 $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ②…（9分）
①-②，得 $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ +2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ，…（10分）
∴T_n=1- $\text{[math]}$ ．
又 1+3+5+…+（2n-1）=n²．…（11分）
∴S_n= $\text{[math]}$ （n²-1+ $\text{[math]}$ ）．…（12分）
分析：（1）由函数f（x）的解析式及已知条件可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2（n∈N*），从而得到数列{ $\text{[math]}$ }是以 $\text{[math]}$ =1为首项，公差为2的等差数列．
（2）由（Ⅰ）得a_n=（2n-1）²，由条件求得 b_n= $\text{[math]}$ ，c_n= $\text{[math]}$ •b_n=（2n-1）• $\text{[math]}$ ，化简S_n为 $\text{[math]}$ [1+3+5+…+（2n-1）-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）]．令T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，用错位相减法求得T_n的值，即可求得S_n的值．
点评：本题主要考查等差关系的确定，等差数列的通项公式以及前n项和公式，等比数列的通项公式以及前n项和公式，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．