Question

1．已知y=x²+2mx+m²+2m+1，当x∈﹙0，+∞﹚时y＞0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 由于对称轴不固定，所以须分轴在区间左边和轴在区间内两种情况来讨论．

解答 解：y=x²+2mx+m²+2m+1=（x+m）²+1+2m，
对称轴为x=-m，
当-m≤0即m≥0时，f（0）≥0即1+2m≥0，解得m≥-$\frac{1}{2}$，即为m≥0；
当-m＞0即m＜0时，1+2m＞0解得-$\frac{1}{2}$＜m＜0．
综上得：m＞-$\frac{1}{2}$．

点评 本题的实质是求二次函数的最值问题，关于解析式系数带参数的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后再综合归纳得出所需结论．