Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC，AC=2a，BB₁=3a，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点：
（1）求直线BE与A₁C所成的角的余弦值；
（2）在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出AF；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）以B为原点，BA、BC、BB₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出B，C，A，A₁，C₁，B₁，D，E，求出

A1C

，

BE

，利用cos＜

A1C

，

BE

＞=

A1C • BE

| A1C |•| BE |

，求出直线BE与A₁C所成的角的余弦值．
（2）假设存在点F，使CF⊥平面B₁DF，不妨设AF=b，求出F，

CF

，

BF

，

B1D

，利用

CF • B1D =a2-a2=0 CF • B1F =2a2+b(b-3a)=0

求出b=a或b=2a，即可说明CF⊥平面B₁DF．

解答：解：（1）以B为原点，BA、BC、BB₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为AC=2a，∠ABC=90°，
所以AB=BC=

2

a
所以B（0，0，0），C（0，

2

a，0），A（

2

a，0，0），A₁（

2

a，0，3a），C₁（ 0，

2

a，3a），B₁（0，0，3a），D（

2

2

a，

2

2

a，3a），E（0，

2

2

a，

3

2

a）

A1C

=(-

2

a，+

2

a，-3a)，

BE

=(0，

2

2

a，

3

2

a)，
则cos＜

A1C

，

BE

＞=

A1C • BE

| A1C |•| BE |

=-

7 143

143

所以直线BE与A₁C所成的角的余弦值

7 143

143

（6分）
（2）假设存在点F，使CF⊥平面B₁DF，不妨设AF=b，则F（

2

a，0，b），

CF

=(

2

a，-

2

a，b)，

BF

=(

2

a，0，b-3a)，

B1D

=(

2 a

2

，

2 a

2

，0)（9分）
所以

CF • B1D =a2-a2=0 CF • B1F =2a2+b(b-3a)=0

解之得b=a或b=2a，
所以当AF=a或2a时，CF⊥平面B₁DF（12分）

点评：本题考查直线与直线所成角的求法，考查空间向量的求法，向量数量积的应用，考查计算能力，空间想象能力．