题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求a，b的值；　　
（2）写出函数f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．

解：（1）∵sin（ $\text{[math]}$ +x）=-cosx，sin（π+x）=-sinx，sin（ $\text{[math]}$ ）=cosx
∴ $\text{[math]}$
=2acos²x-bsinxcosx=a（1+cos2x）- $\text{[math]}$ bsin2x
∵f（0）=2，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∴2a=2且a（1+cos $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ bsin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
解之得a=1，b=-2
（2）由（1）得：f（x）=1+cos2x+sin2x= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1
令 $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，k∈Z
得函数的减区间为[ $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]，将其与区间[-π，π]求交集，得
函数f（x）在[-π，π]上的单调递减区间为[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]和[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）根据三角函数诱导公式和二倍角三角公式，化简得f（x）=a（1+cos2x）- $\text{[math]}$ bsin2x，再结合题中f（0）=2且f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，建立关于a、b的方程组并解之，即得实数a，b的值；
（2）利用辅助角公式化简整理，得f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，根据正弦函数单调区间的公式，求出f（x）在R上的单调减区间，再与区间[-π，π]求交集，即可得到函数f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
点评：本题给出三角函数的表达式，在已知函数对应值的情况下求参数a、b的值，并求函数在[-π，π]上的单调递减区间，着重考查了二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．