Question

已知平面向量

a

=（1，x），

b

=（2x+3，-x）（x∈R）．
（1）若

a

⊥

b

，求x的值；   
（2）若

a

∥

b

，求|

a

-

b

|．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥

b

，

a

•

b

=0，我们易构造一个关于x的方程，解方程即可求出满足条件的x的值．
（2）若

a

∥

b

，根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，构造一个关于x的方程，解方程求出x的值后，分类讨论后，即可得到|

a

-

b

|．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=（1，x）•（2x+3，-x）=2x+3-x²=0
整理得：x²-2x-3=0
解得：x=-1，或x=3
（2）∵

a

∥

b

∴1×（-x）-x（2x+3）=0
即x（2x+4）=0
解得x=-2，或x=0
当x=-2时，

a

=（1，-2），

b

=（-1，2）

a

-

b

=（2，-4）
∴|

a

-

b

|=2

5

当x=0时，

a

=（1，0），

b

=（3，0）

a

-

b

=（-2，0）
∴|

a

-

b

|=2
故|

a

-

b

|的值为2

5

或2．

点评：本题考查的知识是数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，平行向量与共线向量，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．