Question

（2009•普陀区一模）已知数列{a_n}中，a₁=0，an+1=

1

2-an

，n∈N^*．
（1）求证：{

1

an-1

}是等差数列；并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=an•(

9

10

)n，n∈N^*，试证明：对于任意的正整数m、n，都有|bn-bm|＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）因为

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，所以

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1，n∈N^*；由此能够证明{

1

an-1

}是等差数列．求能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

n-1

n

×(

9

10

)n，得bn+1-bn=

n

n+1

•(

9

10

)n+1-

n-1

n

•(

9

10

)n=(

9

10

)n[

9n

10(n+1)

-

n-1

n

]=(

9

10

)n•

-n2+10

10n(n+1)

．由此能够证明对于任意的正整数m、n，都有|bn-bm|＜

1

2

．

解答：解：（1）因为

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
所以

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1，n∈N^*；
故{

1

an-1

}是等差数列．
由此可得，

1

an-1

=

1

a1-1

+(n-1)×(-1)=-n，
所以an=1-

1

n

=

n-1

n

，n∈N^*．
（2）由bn=

n-1

n

×(

9

10

)n，
则有bn+1-bn=

n

n+1

•(

9

10

)n+1-

n-1

n

•(

9

10

)n
=(

9

10

)n[

9n

10(n+1)

-

n-1

n

]=(

9

10

)n•

-n2+10

10n(n+1)

．
∴当-n2+10＞0⇒n2＜

10

，
即n≤3时，b_n+1＞b_n；
∴当-n2+10＜0⇒n2＞

10

，
即n≥4时，b_n+1＜b_n．
由此可知，b₄是数列{b_n}中的最大项；
又因为b₁=0，
且当n≥2时，b_n＞0，
所以数列{b_n}中的最小项为b₁=0．
∴对于任意的正整数m、n，都有|bn-bm|≤|b4-b1|=|

3

4

•(

9

10

)4-0|=

19683

40000

＜

1

2

．

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．