Question

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁＝90°，A₁C₁＝1，AA₁＝，D是线段A₁B₁的中点．

(Ⅰ)证明：C₁D⊥平面A₁B₁BA；

(Ⅱ)求点A₁到平面AB₁C₁的距离；

(Ⅲ)求二面角A₁－AB₁－C₁的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：三棱柱是直三棱柱，平面，又点D是等腰直角三角形斜边的中点， 　　则， 　　所以，；　　　　　　4分; 　　(Ⅱ) 　　过A1作A1E⊥AC1于E点， 　　， 　　∴B1C1⊥平面A1C1CA． 　　又∵B1C1平面AB1C1， 　　∴平面AB1C1⊥平面A1C1CA． 　　又∵A1E⊥AC1， 　　∴A1E⊥平面AB1C1， 　　∴A1E就是A1到平面AB1C1的距离． 　　由已知，AC1＝，所以，A1E＝．　　　　　　　　　　　　　8分; 　　(Ⅲ)解：内，过D作，垂足为E，连结，则． 　　是二面角的平面角， 　　在中，， 　　所以，二面角的大小为．　　　　　　　12分