Question

（1）若关于x的不等式-

1

2

x2+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，求实数m的值；
（2）已知x，y都是正数，若4x+y=6，求

1

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式,一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）原不等式可变为x²-（4-2m）x＜0，由题意可得0，2是一元二次方程x²-（4-2m）x=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．
（2）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）原不等式可变为x²-（4-2m）x＜0，
∵关于x的不等式-

1

2

x2+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，
∴0，2是一元二次方程x²-（4-2m）x=0的两个实数根，
∴0+2=4-2m，解得m=1，
∴实数m=1．
（2）∵x，y都是正数，4x+y=6，

1

x

+

1

y

=

1

6

(4x+y)(

1

x

+

1

y

)
=

1

6

(5+

4x

y

+

y

x

)≥

1

6

(5+2

4x y • y x

)=

3

2

，当且仅当y=2x=2时取等号．

∴

1

x

+

1

y

的最小值是

3

2

．．

点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．