Question

若过椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)右焦点F₂且倾斜角为

3π

4

的直线与椭圆相交所得的弦长等于

24

7

，则b=

 

．

Answer 1

分析：由题意知直线方程为y=-（x-

4-b2

），把y=-（x-

4-b2

）代入椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)后，利用弦长公式可以求出b的值．

解答：解：由题意知F2(

4-b2

，0)，k=tan

3π

4

=-1，
∴直线方程为y=-（x-

4-b2

），
把y=-（x-

4-b2

）代入椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)并整理，得
(4+b2) x2-8

4-b2

x+16-8b2=0，
设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=

8 4-b2

4+b2

，x1x2=

16-8b2

4+b2

，
∴

2[ 64(4-b2) (4+b2)2 - 4(16-8b2) 4+b2 ]

=

24

7

解得b²=3，∴b=

3

．
故答案：

3

．

点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．