Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点

（1）求椭圆的标准方程

（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，求证：为定值

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）由点在椭圆上列方程，结合即可求得，问题得解。

（2）设根据圆的切线可得，由此表示直线方程,将代入直线方程可得，同理可得，由此可得到两点在直线上，即可求得直线的方程，由此表示出，结合即可证得结论，问题得解。

解：（1）将点代入椭圆的方程可得：，

又，解得：，

所以椭圆的标准方程为

（2）由（1）可得：

设

∴可知是过作圆切线所产生的切点弦

设，由是切点可得：

∴

∴直线方程，代入：，

即 ，同理可知对于，有

因为在圆上

∴ ∴

∴为直线上的点

因为两点确定唯一一条直线

∴直线方程，即

由截距式可知

∴

∵在椭圆上

∴

∴

即为定值