题目内容
已知A，B，C均在椭圆M：| x2 |
| a2 |
| AC |
| F1F2 |
| AF1 |
| AF2 |
| AF1 |
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任一条直径，求
| PE |
| PF |
分析：（Ⅰ）根据
•
=0判断出
⊥
可知△AF1F2为直角三角形，进而可知|
|cos∠F1AF2=|
|进而根据9
•
=
2．求得|
|=3|
|，进而根据椭圆的定义联立求得|
|和|
|根据勾股定理建立等式求得a，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）根据题意通过E坐标求出F坐标，代入椭圆的方程，化简
•
的表达式，利用P是椭圆上的任意一点纵坐标的范围求出表达式的最大值．
| AC |
| F1F2 |
| AC |
| F1F2 |
| AF1 |
| AF2 |
| AF1 |
| AF2 |
| AF1 |
| AF1 |
| AF2 |
| AF1 |
| AF2 |
（Ⅱ）根据题意通过E坐标求出F坐标，代入椭圆的方程，化简
| PE |
| PF |
解答：解：（Ⅰ）因为
•
=0，所以有
⊥
所以△AF1F2为直角三角形；
∴|
|cos∠F1AF2=|
|
则有9
•
=9|
||
|cos∠F1AF2=9|
|2=
2=|
|2
所以，|
|=3|
|
又|
|+|
|=2a，
∴|
|=
，|
|=
在△AF1F2中有|
|2=|
|2+|
|2
即(
)2=(
)2+4(a2-1)，解得a2=2
所求椭圆M方程为
+y2=1
（Ⅱ）由题意可知N（0，2），E，F关于点N对称，
设E（x0，y0），则F（-x0，4-y0）有x02+(y0-2)2=1，
∴
•
=x2-x02+4y0-4y-y02+y2=x2+2y2-（x02+（y0-2）2）-y2+4-4y=-（y+2）2+9
P是椭圆M上的任一点，y∈[-1，1]，
所以当y=-1时，
•
的最大值为8．
| AC |
| F1F2 |
| AC |
| F1F2 |
所以△AF1F2为直角三角形；
∴|
| AF1 |
| AF2 |
则有9
| AF1 |
| AF2 |
| AF1 |
| AF2 |
| AF2 |
| AF1 |
| AF1 |
所以，|
| AF1 |
| AF2 |
又|
| AF1 |
| AF2 |
∴|
| AF1 |
| 3a |
| 2 |
| AF2 |
| a |
| 2 |
在△AF1F2中有|
| AF1 |
| AF2 |
| F1F 2 |
即(
| 3a |
| 2 |
| a |
| 2 |
所求椭圆M方程为
| x2 |
| 2 |
（Ⅱ）由题意可知N（0，2），E，F关于点N对称，
设E（x0，y0），则F（-x0，4-y0）有x02+(y0-2)2=1，
∴
| PE |
| PF |
P是椭圆M上的任一点，y∈[-1，1]，
所以当y=-1时，
| PE |
| PF |
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的问题，向量的基本计算．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
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上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2，当
时，有
．
的最大值．
上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2，当
时，有
．
的最大值．
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