Question

(本小题满分14分) 已知在单位圆x²+y²=1上任取一点M，作MN⊥x轴，垂足为N， = 2．
(Ⅰ)求动点Q的轨迹的方程；
(Ⅱ)设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；
(Ⅲ)在的条件下，设△的面积为(是坐标原点，是曲线上横坐标为的点)，以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) 
(2)时,；
时,；
时，,．所以， 
(3)

试题分析：解：(Ⅰ)设点Q的坐标为（x，y），M（x₀，y₀），则N（x₀，0）
∴
∵=
∴
∵   ∴
∵点M（x₀，y₀）在单位圆x² + y² = 1上
∴
所以动点Q的轨迹C的方程为      .........................4分
(Ⅱ)设，则

，令，，所以，
当，即时在上是减函数，；
当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则；
当，即时，在上是增函数，．
所以， ．          9分
(Ⅲ)当时，，于是，，
若正数满足条件，则，即，
，令，设，则，，于是
，
所以，当，即时，，
即，．所以，存在最小值．          14分
点评：解决的关键是利用向量法坐标法得到轨迹方程，同时能利用点到直线的距离得到最值，属于基础题。