题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的下顶点为A，点B是椭圆上的任意的一点，点C、D是直线x-y-4=0上的两点（C在D的下方），则 $数学公式$ 的最大值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：由于 $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ 在直线CD上的投影的长度，如图，设与直线x-y-4=0上垂直的直线方程为：y=-x+b，代入椭圆的方程得到关于x 的二次主程，由△=0得：b= $\text{[math]}$ ，结合图形得 $\text{[math]}$ 的最大值是点A到此切线的距离，利用点到直线的距离公式求解即得．
解答：

解：由于 $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ 在直线CD上的投影的长度，如图，
设与直线x-y-4=0上垂直的直线方程为：
y=-x+b，
代入椭圆的方程 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ x²-2bx+b²-1=0，
由△=0得：b= $\text{[math]}$ ，
结合图形得，图中椭圆的切线方程为：y=-x+ $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ 的最大值是点A到此切线的距离，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：本小题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

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