Question

已知椭圆的上顶点为A（0，1），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长轴的弦长为1．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设圆O：，过该圆上任意一点作圆的切线l，试证明l和椭圆C₁恒有两个交点A，B，且有；
（3）在（2）的条件下求弦AB长度的取值范围．

Answer 1

解：依题意有．
（1）．

（2）由，且半径，所以圆O必在椭圆内部，
所以过该圆上任意一点作切线必与椭圆恒有两个交点．
设切点坐标为（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则切线方程为（1），
又由（1）知（2）
联立（1）（2）得：，，
又，，
所以，欲证，即证：x₁x₂+y₁y₂=0，
因为：
所以，命题成立．

（3）设∠A=θ，则∠B=90°-θ，，，
则，
所以OA∈[1，2]，，所以，又θ为锐角，
所以，则有，所以．
分析：（1）根据点A的坐标求得b，根据过C₁的焦点且垂直长轴的弦长轴的弦长为1．求得=1，进而求得a，则椭圆的方程可得．
（2）根据椭圆方程和圆的半径小于1判断圆O必在椭圆内部设切点坐标为（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），进而可表示出切线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而根据y₁和y₂的表达式，求得y₁y₂的表达式，进而代入x₁x₂+y₁y₂求得结果为0，进而判断出．
（3）设∠A=θ，则∠B=90°-θ，可知OD的值，进而表示出BD和AD，进而表示出AB，确定OA的范围，确定sinθ的范围，推断出tanθ的范围，进而确定AB的范围．
点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．