Question

已知函数f（x）=x³-ex²+mx+1（m∈R），，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈R⁺，若g（x₁）＜f′（x₂）恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2ex+m，令Δ=4（e²-m），
（i）当m≥e²时，f′（x）≥0，∴f（x）在R上递增；
（ii）当m＜e²时，Δ＞0，令f′（x）＞0，
∴f（x）在递增，
令f′（x）＜0，
∴f（x）在递减；
（Ⅱ）∵g′（x）=，
令g′（x）==0时，x=e，
∴g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
∴，
又∵f′（x）=（x-e）²+m-e²，
∴当x＞0时，f（x）_min=m-e²，
∴，
∴，即。