题目内容
2．
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．有下列判断：①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E-AA1O的体积为定值；④AE+EC1的最小值为2$\sqrt{2}$．
其中正确的个数是（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
分析 由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE=x，列出AE+EC1关于x的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．
解答 
解：如图，
对于①，∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内不过C，∴直线AC与直线C1E是异面直线，故①正确；
对于②，当E与B重合时，AB1⊥A1B，而C1B1⊥A1B，∴A1B⊥平面AB1C1，则A1E垂直AC1，故②错误；
对于③，由题意知，直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心为O是AC1 与A1C 的交点，则△AA1O的面积为定值，由BB1∥平面AA1C1C，∴E到平面AA1O的距离为定值，∴三棱锥E-AA1O的体积为定值，故③正确；
对于④，设BE=x，则B1E=2-x，∴AE+EC1=$\sqrt{1+{x}^{2}}+\sqrt{1+（2-x）^{2}}$．由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为2$\sqrt{2}$，故④正确．
∴正确命题的个数是3个．
故选：C．
点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．
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| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{π}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
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（Ⅰ）请根据上表数据画出散点图
（Ⅱ）根据散点图判断，y=bx+a与y=c$\sqrt{x}$+d哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；根据判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程．（参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$）
| x | 16 | 14 | 12 | 10 | 8 |
| y | 11 | 9 | 8 | 6 | 5 |
（Ⅱ）根据散点图判断，y=bx+a与y=c$\sqrt{x}$+d哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；根据判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程．（参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$）
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| A． | {0，1} | B． | {-1，0} | C． | {-1，0，1} | D． | {0，1，2} |