Question

（2006•东城区二模）已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18，数列{b_n}的前n项和是T_n，且Tn+

1

2

bn=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=a_n•b_n，求证：c_n+1≤c_n．

Answer 1

分析：（1）由等差数列通项公式可得

a1+d=6 a1+4d=18.

，解出a₁，d，由通项公式可求；
（2）由于Tn=1-

1

2

bn，①，n≥2时，Tn-1=1-

1

2

bn-1②，两式作差可得递推式，由定义可判断，注意检验n=1的情况；
（3）由（2）可得bn=

2

3n

．从而可表示出c_n，利用作差可可证c_n+1≤c_n．

解答：解：（1）由已知

a1+d=6 a1+4d=18.

，解得a₁=2，d=4．
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．
（2）由于Tn=1-

1

2

bn，①
令n=1，得b1=1-

1

2

b1．解得b1=

2

3

，
当n≥2时，Tn-1=1-

1

2

bn-1②，
①-②得bn=

1

2

bn-1-

1

2

bn，
又b1=

2

3

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

3

．
∴数列{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（3）由（2）可得bn=

2

3n

．
cn=an•bn=(4n-2)

2

3n

=

4(2n-1)

3n

，cn+1-cn=

4(2n+1)

3n+1

-

4(2n-1)

3n

=

16(1-n)

3n+1

．
∵n≥1，故c_n+1-c_n≤0．∴c_n+1≤c_n．

点评：本题考查利用递推式求数列通项公式及等差数列的通项公式，考查学生的推理论证能力，属中档题．