题目内容
（2006•东城区二模）已知椭圆M的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），P是此椭圆上的一点，且
•
=0，
•
=8．
（1）求椭圆M的方程；
（2）点A是椭圆M短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，B、C是椭圆上不同于点A的两点，若△ABC的重心是椭圆的右焦点，求直线BC的方程．
| PF1 |
| PF2 |
| |PF1| |
| |PF2| |
（1）求椭圆M的方程；
（2）点A是椭圆M短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，B、C是椭圆上不同于点A的两点，若△ABC的重心是椭圆的右焦点，求直线BC的方程．
分析：（1）设|
|=m，|
| =n，由
，能求出椭圆M的方程．
（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），A（0，2），由重心公式，得
，由此能求出直线BC的方程．
| PF1 |
| PF2 |
|
（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），A（0，2），由重心公式，得
|
解答：解：（1）设|
|=m，|
| =n，
由
，
∴a=
，c=1，b=2，
∴
+
=1．
（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），A（0，2），
由重心公式，得
，
∴线段BC的中点为D（
，-1），
将点B，C代入椭圆方程，再相减，
得
+
=0，
∴k=
，
由点斜式得6x-5y-14=0．
| PF1 |
| PF2 |
由
|
∴a=
| 5 |
∴
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| 4 |
（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），A（0，2），
由重心公式，得
|
∴线段BC的中点为D（
| 3 |
| 2 |
将点B，C代入椭圆方程，再相减，
得
| (x1+x2)(x1-x2) |
| 5 |
| (y1+y2)(y1-y2) |
| 4 |
∴k=
| 6 |
| 5 |
由点斜式得6x-5y-14=0．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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