Question

如图，在长方体OAEB-O₁A₁E₁B₁中，OA=3，OB=4，OO₁=2，点P在棱AA₁上，且AP=2PA₁，点S在棱BB₁上，且SB₁=2BS，点Q、R分别是O₁B₁、AE的中点，求证：PQ∥RS．

Answer 1

分析：根据条件中的长方体建立空间直角坐标系，写出点的坐标，再求得向量

PQ

，

RS

的坐标，利用向量平行的条件得出

PQ

∥

RS

，从而得出PQ∥RS．

解答：证明：如图，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，4，0），O₁（0，0，2），
A₁（3，0，2），B₁（0，4，2），E（3，4，0），
∵AP=2PA₁，∴

AP

=2

PA1

=

2

3

AA1

，
即

AP

=

2

3

（0，0，2）=（0，0，

4

3

），∴P（3，0，

4

3

）
同理可得，Q（0，2，2），R（3，2，0），S（0，4，

2

3

），
∴

PQ

=（-3，2，

2

3

）=

RS

，
∴

PQ

∥

RS

，
∵R∉PQ，
∴PQ∥RS

点评：本题考查向量语言表述线线的垂直、平行关系．根据空间直角坐标系写出点的坐标的问题，这种问题是为解决空间向量与立体几何做准备，是一个基础题，注意数字运算不要出错．