Question

如图，在长方体OAEB—O₁A₁E₁B₁中，|OA|=3，|OB|=4，|OO₁|=2，点P在棱AA₁上，且|AP|=2|PA₁|，点S在棱BB₁上，且|SB₁|=2|BS|，点Q、R分别是棱O₁B₁、AE的中点.

求证：PQ∥RS.

Answer 1

证明:如图，建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(0，4，0)，O₁(0，0，2)，A₁(3，0，2)，B₁(0，4，2).

由定比分点公式，得P(3，0，)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，)，

于是,

∴.∵RPQ,∴PQ∥RS.

启示：利用向量坐标运算证明线线平行时，(1)需证明两向量共线;(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上.建立恰当的空间直角坐标系是关键.