题目内容
已知a＞0，函数f（x）=x3-a，x∈（0，+∞），设x1＞0，记曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线为l，（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x2，0）证明：
①
；②若
则
．
【答案】分析：（1）先求函数f（x）的导数，根据y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率等于在该点的导数值可得答案．
（2）①由（1）中切线方程令y=0求出x2，然后作差即得证．
②将①中结论代入即可得证．
解答：解：（1）f（x）的导数f'（x）=3x2，
由此得切线l的方程y-（x13-a）=3x12（x-x1）；
（2）①依题意，在切线方程中令y=0，
得
，
=
，
∴
，当且仅当
时取等成立．
②若
，则x13-a＞0，
，
且由①
，
所以
．
点评：本题主要考查导数的几何意义和不等式的证明．属中档题．
（2）①由（1）中切线方程令y=0求出x2，然后作差即得证．
②将①中结论代入即可得证．
解答：解：（1）f（x）的导数f'（x）=3x2，
由此得切线l的方程y-（x13-a）=3x12（x-x1）；
（2）①依题意，在切线方程中令y=0，
得
，
=
，∴
，当且仅当
时取等成立．②若
，则x13-a＞0，
，且由①
，所以
．点评：本题主要考查导数的几何意义和不等式的证明．属中档题．
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