Question

已知A、B两点在抛物线C：x²=4y上，点M（0，4）满足=λ．
（1）求证：⊥；
（2）设抛物线C过A、B两点的切线交于点N．
①求证：点N在一条定直线上；
②设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：先设A，B的坐标和直线AB的方程，再联立直线与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程得到两根之和与两根之积．
（1）根据向量的数量积运算表示出•，然后将所求的两根之和与两根之积代入即可得到：•=0，进而的得证．
（2）①先表示出过点A的切线和过点B的切线，然后两直线联立可求出点N的坐标，即可得到点N在定直线y=-4上．
②根据=λ可知（x₁，y₁-4）=λ（-x₂，4-y₂），进而可联立方程可求得k²的表达式，进而求得k²的范围，最后根据直线MN在x轴的截距为k，进而可得答案．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l_AB：y=kx+4与x²=4y联立得x²-4kx-16=0，
△=（-4k）²-4（-16）=16k²+64＞0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16，
（1）证明：•
=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+4）（kx₂+4）
=（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16
=（1+k²）（-16）+4k（4k）+16=0，
∴⊥．
（2）①证明：过点A的切线：
y=x₁（x-x₁）+y₁=x₁x-x₁²，①
过点B的切线：y=x₂x-x₂²，②
联立①②结合（1）的结论得点N（，-4），
所以点N在定直线y=-4上．
②∵=λ，∴（x₁，y₁-4）=λ（-x₂，4-y₂），
联立可得
k²===λ+-2，4≤λ≤9，
∴≤k²≤．
直线MN：y=x+4在x轴的截距为k，
∴直线MN在x轴上截距的取值范围是
[-，-]∪[，]．
点评：本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，不等式等知识．