Question

已知函数f（x）=2sin（x+

α

2

）cos（x+

α

2

）+2

3

cos²（x+

α

2

）-

3

，α为常数．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期；
（Ⅱ）若0≤α≤π时，求使函数f（x）为偶函数的α值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=sin（2x+α）+

3

[cos（2x+α）+1]-

3

=2 sin（2x+α+

π

3

），由此能求出f（x）的周期．
（Ⅱ）要使函数f（x）为偶函数，只需α+

π

3

=kπ+

π

2

，（k∈Z）由此能求出α．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x+α）+

3

[cos（2x+α）+1]-

3

=sin（2x+α）+

3

cos（2x+α）
=2sin（2x+α+

π

3

）
∴f（x）的周期T=

2π

2

=π
（Ⅱ）要使函数f（x）为偶函数，
只需α+

π

3

=kπ+

π

2

，（k∈Z）
即α=kπ+

π

6

，（k∈Z）
因为0≤α≤π，
所以α=

π

6

．

点评：本题考查三角函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换．