Question

已知函数f（x）=x²-2x-3，x∈[t，t+2]．
（1）求f（x）的最值；
（2）当f（x）的最大值为5时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）通过配方，得到函数的对称轴，通过讨论t的取值，确定区间[t，t+2]与对称轴的关系，从而确定函数的最值．
（2）根据函数的最大值，先解出对应的x，然后讨论区间[t，t+2]与x的位置关系．

解答：解：（1）将函数进行配方得f（x）=（x-1）²-2，对称轴为x=1，抛物线开口向上．
①若t≥1，函数f（x）在区间[t，t+2]单调递增，此时最大值为f（t+2）=（t+1）²-2=t²+2t-1，最小值为f（t）=（t-1）²-2=t²-2t-3．
②若t+2≤1，即t≤-1时，函数f（x）在区间[t，t+2]单调递减，此时最小值为f（t+2）=（t+1）²-2=t²+2t-1，最大值为f（t）=（t-1）²-2=t²-2t-3．
③若t＜1＜t+2，即-1＜t＜1时，函数f（x）在区间[t，t+2]不单调，此时最小值为f（1）=-2．
区间[t，t+2]的中点为t+1，当t+1≤1，即-1＜t≤0时，函数的最大值为f（t）=（t-1）²-2=t²-2t-3．
当t+1＞1，即0＜t＜1时，函数的最大值为f（t+2）=（t+1）²-2=t²+2t-1．

（2）由f（x）=x²-2x-3=5，解得x=4或x=-2．要使函数的最大值是5，则满足

t=-1 t+2≤4

即t=-1或者

t=4 t+2≥-2

即t=4．
所以满足条件的t=-1或t=4．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质．对于闭区间上二次函数的最大值和最小值要利用对称轴和给定区间之间的关系进行判断，必要时要结合图象进行分类讨论．