Question

设函数（），其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求函数的极大值和极小值；

（3）当， 时，若不等式对任意的恒成立，求的值。

Answer 1

解：当时，，得，且

，．                         1分

所以，曲线在点处的切线方程是，整理得

．                                            3分

（Ⅱ）解：

．

令，解得或．                        4分

由于，以下分两种情况讨论．

（1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．                   6分

（2）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．           8分

（Ⅲ）证明：由，得，当时，

，．

由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，

只要

即　　　　　　　　①                10分

设，则函数在上的最大值为．

要使①式恒成立，必须，即或．

所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．                                                        12分