Question

【题目】给出定义在上的两个函数,.

（1）若在处取最值．求的值；

（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

（3）试确定函数的零点个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）两个零点．

【解析】

试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此在处取极值，即 ，解得 ，需验证（2） 在区间上单调递减，转化为在区间上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：的最大值，根据分式函数求最值方法求得最大值2（3）先利用导数研究函数单调性：当时，递减，当时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：，

， ，结合零点存在定理可得零点个数

试题解析：（1） 由已知，即: ,

解得： 经检验 满足题意

所以

（2）

要使得在区间上单调递减，

则，即在区间上恒成立

因为，所以

设函数，则

因为，所以，所以

所以，所以

（3）函数有两个零点．因为

所以

当时，，当时，

所以，

，

故由零点存在理可知：

函数在 存在一个零点，函数在 存在一个零点，

所以函数有两个零点．