Question

如图所示，⊥平面，△为等边三角形，，⊥，

为中点．

（I）证明：∥平面；

（II）若与平面所成角的正切值 为，求二面角--的正切值．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．

依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD．    …………2分

又因为BMË平面PCD，CDÌ平面PCD，所以BM∥平面PCD．  …………5分

（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，

所以CD⊥平面PAC，故PD与平面  

PAC所成的角即为∠CPD．

……………5分

         不妨设PA=AB=1，则PC=．

         由于，

         所以CD=．……………8分

        （方法一）

在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．

又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C-PD-M的平面角． 

         易知PE=3EC，ME=，EF=，

         所以tan∠EFM=， 

即二面角C-PD-M的正切值是．

……………12分

       （方法二）

以A点为坐标原点，AC为x轴，建立

如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．

则P（0,0,1），

M（），C（1,0,0），D．

则，，．

若设和分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则，可取．

由，可取．  

          所以，