题目内容

已知圆O：x2＋y2＝2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交直线l：x＝－2于点Q．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若点P的坐标为(1，1)，求证：直线PQ与圆O相切；

(Ⅲ)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A、B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)因为，所以c＝1　1分

　　则b＝1，即椭圆的标准方程为　3分

　　(2)因为(1，1)，所以，所以，所以直线OQ的方程为y＝－2x

　　又直线方程为x＝－2，所以点Q(－2，4)　5分

　　所以，又，所以，即，

　　故直线与圆相切　7分

　　(3)当点在圆上运动时，直线与圆保持相切　8分

　　证明：设()，则，所以，，

　　所以直线OQ的方程为

　　所以点Q(－2，)　10分

　　所以，

　　又，所以，即，故直线始终与圆相切　12分


练习册系列答案
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已知圆O：x2＋y2＝1，点P在直线上，O为坐标原点，若圆O上存在点Q，使∠OPQ＝30°，则点P的纵坐标y0的取值范围是

[　　]
A．

[－2，2]

B．

[0，2]

C．

[－1，1]

D．

[0，1]

       已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：（x－4）2＋（y－4）2＝1，由两圆外一点P（a,b）引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，如图，满足|PA|＝|PB|；

       （Ⅰ）将两圆方程相减可得一直线方程l：x＋y－4=0，该直线叫做这两圆的“根轴”，试证点P落在根轴上；

       （Ⅱ）求切线长|PA|的最小值；

（Ⅲ）给出定点M（0,2），设P、Q分别为直线l和圆O上动点，求|MP|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．

(1)求a、b间关系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．

 已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．

(1)求a、b间关系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．

已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由两圆外一点P(a，b)引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，如图，满足|PA|＝|PB|.

(1)求实数a、b间满足的等量关系；

(2)求切线长|PA|的最小值；

(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由.

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