Question

【题目】在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足.

求动点的轨迹的方程；

过点作互相垂直的直线，，分别交曲线于点，和，，记，的面积分别为，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】；为定值，.

【解析】

设点，，点代入到抛物线中，由，列出相应方程组，求出，进而求出动点的轨迹的方程；

由知曲线为抛物线，点为抛物线的焦点，分类讨论当直线的斜率为或不存在时和当直线的斜率存在且不为时的情况，结合韦达定理和点到直线的距离公式判断出为定值，定值为.

解：设点，，

则，且，

由，得，

即，代入，

得，即.

所以曲线的方程为.

由知曲线为抛物线，点为抛物线的焦点，

当直线的斜率为或不存在时，均不适合题意.

当直线的斜率存在且不为时，

设直线，与联立消得，.

由得，且，

设，，

则，.

所以.

原点到直线的距离，

所以.

同理可求得.

所以.

所以.

因此为定值.